不同分布的转换问题

       对于连续型随机变量：

       任何的连续随机变量，如果已知其分布，均可以生产均匀分布。

       设随机变量为X, 累积分布为F_X.因为随机变量的函数也是随机变量，所以F_X(X)也是随机变量。现在来求其分布，P\{F_X(X) \leq a\} = P\{X \leq F^{-1}_X(a)\}=F_X(F^{-1}_X(a))=a,考虑到累积函数的值域，其为[0, 1]上的均匀分布。

       若X 服从正态分布，则 Y=\Phi(X) 服从[0,1]间的均匀分布，其中\Phi是正态分布函数的cumulative distribution function。

       对于离散型随机变量：不服从上述。

       如果你有一个均匀分布的随机数生成器，如何产生正态分布的变量？通常来说我们一般的程序都能更直接地生成均匀分布的随机变量。

       一种业界广泛使用的做法叫Box-Muller-Wiener算法。首先生成一对[0,1]上的均匀分布的，独立的随机变量A和B。然后用A *2pi 作为角度，sqrt(-2*log(B)) 作为半径，得到极坐标下的一个点。这个点的两个坐标（X,Y）就是一个二维的标准正态分布。

       那么回到本题，如何利用正态分布的两个变量X,Y生成均匀分布的随机变量？现有的答案们提到了其中一种做法， 即计算点（X,Y）在二维平面内与x轴（或任意其他固定方向）的夹角——这样我们就得到了前述过程中的随机变量A * 2pi。其实另一种方式是计算exp( -0.5 * (X^2 + Y^2))——这样我们就得到了前述过程中的随机变量B。某种意义上来说，后者更为稳定，因为不涉及除法运算（例如arctan(Y/X)），可以以很大概率避免overflow等等问题。

       值得注意的是，点(X,Y)到原点距离的平方X^2 + Y^2是服从卡方分布的随机变量。当变量数为2的时候，这是一个参数为2的指数分布。对于指数分布的随机变量来说，其累积密度函数有解析的表达式，可以直接通过均匀分布来生成。同样的办法对一维正态分布则只能近似数值处理。